子空间与商空间

在线性代数里面,我们会学到子空间和商空间两个概念。

同样的类比会出现在群论:有子群和商群。在表示论,有子表示和商表示。如果用范畴论,好像可以很统一地解释它们。不过没必要扯这么远。

商空间,是大一时,一个比较需要思考才能理解的概念。

子空间很好理解:就是整个空间的一部分(当然数学会有更严格的定义,我们就忽略了)。打个比方,现在有一个年级,4个班,合共170人。每个人,有一个名字。同学的名字可能重复。

这些人看做整个空间,那么子空间就是一部分人。比如2班的全体女同学。

商空间是什么呢?打个比方,所有同学的名字组成的集合。

170人,因为有重名,可能最终一共160个不同名字。但这160个名字,却无法看做这170人的一个部分。

你可以这么看:这170人,有些人重名,我就把重名的人都“叠起来”看成一个人。最终变成160个“人”。但这些“人”,可能其实是几个人叠在一起的,不能看做是原来170人的一部分。

这160个名字,就是170人的一个“商空间”。

再举一个例子。全国有十几亿人。属于三十多个省级行政单位,包括省、自治区、直辖市、特别行政区等。

那这30多个省,也是十几亿人的一个“商空间”。你可以认为,所有广东人,都“叠起来”变成一个个体。同样江苏人、内蒙古人,都一样。最终变成30多个个体。它也不能看做十几亿人的一个部分。

 

我扯这些干嘛呢?

 

子空间,是全空间的一个部分。商空间,是全空间在只考虑某些信息(例如上面例子中的名字、省份)后,叠合具有同样信息的个体,形成的一个新的空间。

子空间和商空间,都可以看做是“切割”全空间的方法。

什么我们会切全空间?当我们有一些素材,要拿它满足一些需求的时候!

比如我,写读书笔记,更多是切“子空间”。我把别人的书拿来,我觉得无趣的部分跳过,剩下的记下来。

但唯为切的却是商空间!他读了很多史料,融会贯通。把某些人的事情串起来,思考前因后果。某些相似的史料,拿来类比。

(当然他同时也切了子空间:他只写重要的人物,重要的事。历史长河,值得写的也没几个。)

 

商空间的一个点,对应一个子空间。比如上面的例子,省份是全国人的商空间。广东这个省份,对应广东人这个子空间。

所以,当你有了一种叠合信息的方法时,就会将整个空间分为若干块。

比如唯为,考虑古代政治的意识形态建设。这是一个商空间的考虑。对应地,就会比较不同历史时期意识形态的变化。这些历史事件,就是全体历史事件的子空间。

 

子空间的切割是容易做的,因为如果全空间是客观存在的,那么子空间是客观存在的空间。商空间就难了,因为它是抽象的概念。所谓“抽象思维”,无非就是在商空间上推演。

 

抽象的关键,不是叠合,而是忽略。忽略掉某些信息,只考虑某些信息。

所以每次我放假,idea就会出来。因为远离了原来的任务。任务太紧,无法忽略信息,就无法抽象思维。

当然另一个原因是我记性不好,会忽略掉某些东西。这其实真是有用的。。。

 

商空间有很多构造方法。因为你可以考虑不同维度的信息的组合。那用什么信息来切呢?这就是所谓的概念了。最简单的方法是,你学到什么新的概念,就把你脑子里有的东西,全部都拿来切一切。不多的,因为很多重复的case. 久而久之,你的抽象能力就很强了。强不在于你能有多抽象,而在于你能抽象到正确的位置。

 

扯了这么久,为什么要考虑子空间和商空间?因为基本上,思考的两个重要角度就是它们:要么你忽略一部分事情,即筛选。要么你忽略一部分信息,即抽象。最终定位到你要的东西。

当然,要变强,更重要的是,你要多了解事情,知道更多“全空间”。

 

那什么是学习呢?

学全空间,知道世上有什么。

学子空间:知道什么是重要的主题。

学商空间,知道什么角度看问题。

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