一个贝叶斯问题

假设有一项关于癌症的健康检查,对于有癌症的人,正确率为98%,对于没有癌症的人,正确率为97%。而在一般人群中,癌症发病率为0.8%. 请问,一个检查结果为“有癌症”的人,确实有癌症的概率是多少?

根据上述数据,有癌症的人,被检出的概率是98%. 一个没癌症的人,被检出有癌症的概率是3%. 似乎前者远为靠谱。但考虑这样一个情形:1000个人去参加这项检查。根据我们的数据,其中8个有癌症,992个没有。然后,这8个人全部都检出癌症。这992人有3%,也就是大概30人检出癌症。这38个检出癌症的人,只有8个真的有,占20%多一点。一个检查结果为“有癌症”的人,不知道自己是这38个中的哪一个,所以癌症概率就是20%多一点。以上分析,就是所谓的“贝叶斯定理(方法、分析,随便怎么叫)”。

如此看来健康检查岂不是很不靠谱?非也。因为癌症发病率本身只有0.8%。 健康检查将它提高了30多倍,是非常有用的信息(尽管这信息并不让人高兴)。不过根据我们直觉,似乎被诊断为癌症的人,误诊率并没有80%这么高。为什么直觉跟计算有这个差距?

原因是,当一个人要去做关于癌症的检查,可能是因为身体有一些症状。换言之,做检查的人群里,癌症的发病率本来就不止0.8%. 举个例子,如果做检查的人群里,有8%的人真的有癌症(而不是0.8%),那么检查出来有癌症的人,实际有癌症的概率就是70%左右了。

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