量度

当年张五常上研究生,旁听艾智仁教课。第一节,艾智仁问,在一个孤岛,没有任何工具,如何量度石头的大小。

学生们提出各种想法,被他一一否决,一堂课几十分钟,就讨论这个问题。下课了,没讨论完,下节继续。这么玩了几次,教授终于公布答案:你们看,量度根本是武断的事情嘛。

商业社会,我们用钱去量度一切,并以此作为交易的基础。有人说,钱不是一切。没错,但这不等于说,钱是万恶之源。我们需要这个媒介。好像开车,先上离家最近的高速,然后狂奔到目的地附近,下来,走支路。经济系统就是这个高速,我们个人的喜好,则连接在高速的一个之流上。

当年学堆球问题,见过一个赏心悦目的数学定理:估计n维空间中堆球的密度上限。

首先稍作科普。在2维空间,一个正方形中间画一个最大的圆形,面积是正方形的78.5%,即pi/4. 在2维空间中摆放互不相交的圆形,密度比这个稍大,因为可以堆在空隙上,具体是多少我们就不展开了。3维空间的正方体中间,如果放一个最大的球,体积是正方形的pi/6倍,大概是50%,所以三维空间堆球的密度是低于二维空间的,因为边角料多了嘛。如此类推,假设空间维数是n,如果n趋向无穷,相应堆球密度趋向0. 现在的问题是,这个密度下降得有多快呢?当时看到的定理,是n维空间堆球密度,不超过c乘以2的-n/2次幂。c是什么我们先不讨论。

证明的思路十分有趣。我们想像在一个花瓶中堆放乒乓球吧。球的体积除以花瓶的体积就是密度了。显然球的体积不会超过花瓶的体积,所以这个密度是小于1的。这是废话。

现在我们定义一个新的体积。

在真实世界中,任何一个点只能被一个球占据,现在我们放开这个规定。任何点可以被多个球共同占据,但每个球只占一个比例,而且加起来不超过1,有点像占公司股份一样。比如可以这样:a点,被球1占据20%,球2占据70%,还有10%没有被占。

有了这个观念,我们想像在已经放好乒乓球的花瓶a旁边,有一个一模一样的花瓶b,但里面的球不见了。取而代之的,是a中每个乒乓球有一个“幻影球”在b中。它对空间的占据方式是这样的:首先球心位置不变。然后,不妨假设乒乓球的半径是1吧,幻影球对于球心距离0.5以内的点,占据比例依然为1,然后越往外,占据比例开始减少,直到离球心距离为2的地方,终于衰减为0.

幻影球跟真实球最大的不同,是同一个点可以被多个幻影球占据。经过一定的计算可以证明,无论有多少个“幻影球”,同一个点被占领的比例之和不会超过1. 所以,幻影球体积之和也不会超过花瓶。然而每个幻影球的体积是多少呢?是真实球的体积乘以2的n/2次幂再乘以1/c,所以,真实球的体积之和,小于花瓶体积乘以c乘以2的-n/2次幂。定理就证完了。

我们对真实世界的理解,往往来自某种量度。有些时候,一个量度可能具有更强的生命力,但它本身是非真实的,是不直接的。以前有一部电影叫做上帝也疯狂,里面有个非洲演员叫做历苏,他真的是原始部落的人。尽管赚了很多钱,但他并不认识钱是什么,很快就都赔光了。人类史上也许曾花了很长很长时间,接受钱这个“新鲜事物”,因为它也是一种非真实的、不直接的存在。

不过,不是任何事情都可以像数学那样,做好假设然后随便复杂化的。思考真实世界的问题,应该保持简单的方式。我主张的不是寻找复杂的方程式,而是有一个sense,将整个问题分成两部分,一部分是高速,一部分是小路;一部分是幻影球,一部分是真实球;一部分是经济世界,一部分是个人理想。前者因某种意义的成本低而高速运行,后者与前者相连,属于支流,却是一切的意义所在。

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