具体的数学和抽象的数学

我受张五常影响很深,他常常说要重视真实世界的经济学。这个理念在我大学修“模型式”的时候得到了加强。

教那门课的是一个叫王福正的老师。一口很浓重的乡音。第一堂课的第一句话,就是“这门课很难!”。有些学生选了又不来听,自己又不会,他就很气,有次课上说道:“有些学生不来听课,期末考不及格,就来跟我求情,说不能挂科,不然去不了美国。你们稀罕去美国,我可不稀罕。你们不学又想及格,无非就是想混个学分。你要混学分为啥不跟别人混,偏偏要来我课上混?” 全场默然。 他吸了一口气,用他浓厚的乡音说道,“你是不是看我老实?” 所有人都忍不住爆笑了。

在北大,我好多功课都是抄的,期末考前突击一下,成绩就可以不错。这门课也不例外,可是我抄的时候觉得特别快乐,觉得问题十分make sense. 没想到后来居然还真做了这个方向。

有次有个学生去问王福正一个问题。他说你得学黎曼几何。学生说学了,可是里面没讲这个。其实王福正的意思,是要学黎曼面。这时他感叹道:“你们学的数学,都是抽象的,一个开集,就是一个圈,一个群,就是一个G. 我们这里不同,都是具体的数学。” 这句话给我的印象很深。

其实可能我本来就喜欢具体的东西,在听到赞成这个观点的时候就容易有同感。人到底是受他人影响,还是被他人的观点带出了真实的自我?这比较复杂。

anyway,在数学这个领域,“具体”是一个需要格一下的概念。因为具体和抽象只是相对的。比如1个苹果加4个苹果等于5个苹果,抽象成1+4=5,后者是抽象的。但1+4=5,相对于群,又是具体的。当然我们真正关心的数学问题,里面的“具体-抽象”关系估计也不会有太多层。但所谓具体的数学,本质是什么呢?这个问题可以问得更好一点:如果我像张五常那样,喜欢真实世界的经济学,那么对应地在数学这个领域,应该是怎样的数学?

比如一个人,他学懂了一个苹果加4个苹果等于5个苹果,那么要学懂1+4=5,应该不会太难。但学会了加法,要学懂群论,就不是那么容易。真的是这样吗?如果真实世界里只有苹果,那么要学会1+4=5,未必是容易的。之所以容易,是因为真实世界里1+4=5的例子太多了。最终他会明白,背后的数学原理跟那件东西是什么,是无关的。同样,如果他不只会加法和乘法,还会log和exponential, 还会矩阵乘法,还会玩魔方,可能学群论就比较简单了。但从书本上学习群论,一开始就是一个集合,满足三个公理,这是另一个问题了。

所以,一个抽象的概念,如果希望容易学习,最好的方法是用很多的例子,然后找寻其中的规律,自然地一般化。

从这个角度看,一切的数学其实都会是有趣的。因为它们都必然指向一个具体的例子,否则大概也不会存在了。然而大多数paper或者书都不会用有趣的角度去写。以paper为例,多写一个例子不会增加多少credit,尤其对专家而言,他们本身就懂这些例子。

所以我这番思考是trivial了?忽然我想起了Bourbaki。这有两点implication。第一,我的观点是有意义的。第二,我的观点内部是清通的,因此我才会觉得那么理所当然。至于Bourbaki们怎么想,我才懒得管。

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