Converse theorem 1

所谓的Converse theorem, 就是说如果一个GLn的表示,在被某些小一点的群twist了以后,所产生的L-function都是好的,那么这个GLn的表示是automorphic,或者差不多是automorphic的。

当然这只是随便说说,具体而言GLn的表示的性质如何,还有twist的群的能够有多小,还有“差不多”是什么意思,都有很具体的探讨。

Cogdell和PS在94年分析了几个情形。基本上都是从Whittaker model出发,否则也难以搞出函数来。然后往外用GLn表示的分类理论,来推到更为一般的情形;往内则是GLn内部的结构,有许多计算的技巧。具体而言我未有吃透,相信是有实质性内容的。

往外的扩展,是将定理的条件减弱。twist的群越多,条件就越强。当考虑GLn的表示时,定理里面要求twist的,是n-1或者n-2以下的所有群。猜想一方面是减弱到n/2,亦有更aggresive减到1的,当然具体而言略有分别。这些猜测都有背后的理由。详见cogdell综述文章L-function and converse theorem for GLn, ref 93和12. 

定理的应用,部分在93和12有所探讨,这种阅读方式算是往外扩展知识面的一个好途径。而另一方面则是在functorality方面的应用,Cogdell也有若干文章探讨这个。

这个问题大概就是这样了。要从群内部结构计算来突破并不容易,peggy最近做了点有限域的可能有点启示,但使用的model太特殊似乎难以推广。而作为所有计算的起点,Whiitaker model,应该是很难找到什么来代替的,而它的性质的探讨到了一定地步必然存在瓶颈,只是不知道算是到了瓶颈没有。做这么难的问题临阵磨枪是行不通的,但同时不要忘记,数学上新的idea无论多么的浅,找不到就是找不到。高手们费尽心思用各种高深工具来试图突破,未必等于这些工具都有其必要性。所以,保持open minded, 凡事都是有机会的。

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